Problemas de difusión no lineal. Existencia y unicidad de la solución

Resumen

La ecuación diferencial del tipo elíptica es el modelo matemático de los problemas de difusión en estado estacionario. En ciertos casos de interés en ingeniería, el coeficiente de difusión puede ser no constante, por ejemplo, dependiente de la concentración o temperatura. Esto conduce a problemas de contorno no lineales cuya solución analítica por lo general, es compleja y muy laboriosa de obtener. Por otra parte, lo más importante antes de abordar la resolución de este tipo de problemas, es determinar la existencia de la solución y en tal caso, las condiciones bajo las cuales es posible asegurar la unicidad de la misma. En el presente trabajo, a partir de la formulación débil del problema de contorno, base teórica del método de los elementos finitos y útil para su implementación en computadora, se demuestra la continuidad y coercividad de la forma no lineal asociada al problema de contorno. Con estos resultados se establece el espacio de Sobolev al que pertenece la solución y se determinan las condiciones de existencia y unicidad de la misma. Por último, se validan los resultados numéricos obtenidos mediante el método de los elementos finitos, comparando con soluciones disponibles en la bibliografía.